Meccanica dei fluidi: statica, dinamica, viscosità e fenomeni di superficie.
Teoria essenziale
1. Introduzione ai fluidi
Un fluido è una sostanza che può scorrere e deformarsi continuamente sotto l'azione di uno sforzo di taglio. Comprende liquidi e gas.
Densità (ρ): massa per unità di volume: ρ = m/V (kg/m³).
Pressione (P): forza per unità di superficie: P = F/A (pascal, Pa = N/m²).
1 atm = 101325 Pa ≈ 1,013 × 10⁵ Pa.
1 mmHg = 133,3 Pa (usato in medicina per la pressione sanguigna).
2. Leggi dell'idrostatica
Legge di Stevino
La pressione in un liquido in quiete aumenta con la profondità: P = P₀ + ρ·g·h.
P₀ = pressione atmosferica (o pressione sulla superficie).
h = profondità (distanza verticale dalla superficie).
Principio di Pascal
La pressione applicata a un fluido in un recipiente chiuso si trasmette inalterata in tutte le direzioni.
Applicazione: torchio idraulico (F₁/A₁ = F₂/A₂).
Principio di Archimede
Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del fluido spostato.
FA = ρfluido · Vimmerso · g.
Condizioni di galleggiamento: se ρcorpo < ρfluido, il corpo galleggia; se ρcorpo = ρfluido, è in equilibrio indifferente; se ρcorpo > ρfluido, affonda.
🩸 Misura della pressione:
Esperimento di Torricelli: misura della pressione atmosferica con un tubo a mercurio (76 cmHg = 1 atm).
Manometro: strumento per misurare la pressione di gas o liquidi.
3. Fluidi in movimento
Flusso e portata
Portata (Q): volume di fluido che attraversa una sezione nell'unità di tempo: Q = A·v (m³/s).
Moto stazionario: le proprietà del fluido in un punto non cambiano nel tempo.
Moto turbolento: flusso irregolare e caotico (alte velocità, numeri di Reynolds elevati).
Equazione di continuità
Per un fluido incomprimibile (ρ costante), la portata si conserva: A₁·v₁ = A₂·v₂.
Quando la sezione si restringe, la velocità aumenta.
Teorema di Bernoulli
Per un fluido ideale (non viscoso, incomprimibile, in moto stazionario): P + ½·ρ·v² + ρ·g·h = costante.
Applicazioni biomediche:
Stenosi: restringimento di un vaso → aumento di velocità → diminuzione di pressione (effetto Venturi).
Aneurisma: dilatazione di un vaso → diminuzione di velocità → aumento di pressione (rischio di rottura).
🧪 Formula di Bernoulli semplificata (orizzontale, h costante):
P + ½·ρ·v² = costante
Dove la pressione diminuisce quando la velocità aumenta e viceversa.
4. Fluidi reali e viscosità
Viscosità
La viscosità è la resistenza di un fluido allo scorrimento (attrito interno).
Nel moto laminare, il profilo di velocità è parabolico (velocità massima al centro, zero alle pareti).
Gradiente di velocità: variazione di velocità per unità di distanza (dv/dy).
Legge di Poiseuille
Descrive il flusso laminare di un fluido viscoso in un condotto cilindrico:
Q = (π · r⁴ · ΔP) / (8 · η · L)
Q = portata (m³/s).
r = raggio del condotto.
ΔP = differenza di pressione.
η = viscosità del fluido (Pa·s).
L = lunghezza del condotto.
Resistenze idrauliche:
In serie: Rtot = R₁ + R₂ + ...
In parallelo: 1/Rtot = 1/R₁ + 1/R₂ + ...
🩸 Applicazione biomedica:
La legge di Poiseuille spiega la resistenza al flusso sanguigno nei vasi.
Il raggio del vaso (r⁴) ha un effetto enorme: una riduzione del 50% del raggio aumenta la resistenza di 16 volte.
La pressione sanguigna è regolata dalla variazione del raggio dei vasi (vasocostrizione/vasodilatazione).
5. Fenomeni di superficie
Tensione superficiale (γ)
La tensione superficiale è la forza per unità di lunghezza che agisce sulla superficie di un liquido (N/m).
Effetti: gocce sferiche, insetti che camminano sull'acqua, risalita capillare.
Capillarità
La risalita (o discesa) di un liquido in un tubo capillare.
Per l'acqua (che bagna il vetro) si ha risalita; per il mercurio (che non bagna) si ha discesa.
Legge di Laplace
Descrive la pressione di curvatura su una superficie curva (es. goccia, bolla):
ΔP = 2γ / r
ΔP = differenza di pressione tra interno ed esterno.
γ = tensione superficiale.
r = raggio di curvatura.
Applicazioni: alveoli polmonari (la tensione superficiale è ridotta dal surfattante), bolle, gocce.
Esempi svolti
📐 Esempio 1 – Legge di Stevino
Calcolare la pressione a 10 m di profondità in acqua (ρ = 1000 kg/m³, P₀ = 1 atm = 101325 Pa). Soluzione: P = P₀ + ρ·g·h = 101325 + 1000·9,81·10 = 101325 + 98100 = 199425 Pa ≈ 1,97 atm.
📐 Esempio 2 – Teorema di Bernoulli
In un condotto orizzontale, la pressione in un punto è 200 kPa e la velocità è 2 m/s. In un altro punto la velocità è 4 m/s. Calcolare la pressione (ρ = 1000 kg/m³). Soluzione: P₁ + ½·ρ·v₁² = P₂ + ½·ρ·v₂² → 200000 + ½·1000·4 = P₂ + ½·1000·16 → 200000 + 2000 = P₂ + 8000 → P₂ = 194000 Pa = 194 kPa.
📐 Esempio 3 – Legge di Poiseuille
Un vaso sanguigno ha raggio 2 mm e lunghezza 10 cm. Se la differenza di pressione è 100 Pa e la viscosità del sangue è 4 × 10⁻³ Pa·s, calcolare la portata. Soluzione: Q = (π·r⁴·ΔP)/(8·η·L) = (π·(0,002)⁴·100)/(8·0,004·0,1) = (π·1,6×10⁻¹¹·100)/(0,0032) = (5,03×10⁻⁹)/(0,0032) ≈ 1,57×10⁻⁶ m³/s.
Esercizi guidati
✏️ Esercizio 1 – Calcolare la spinta di Archimede su un corpo di volume 0,5 m³ completamente immerso in acqua (ρ = 1000 kg/m³).
Soluzione: FA = ρ·V·g = 1000·0,5·9,81 = 4905 N.
✏️ Esercizio 2 – Un tubo ha sezione A₁ = 0,02 m² e velocità v₁ = 3 m/s. Se la sezione si restringe a A₂ = 0,005 m², calcolare v₂.